Asymptotic Analysis of Fields in Multi-Structures by Vladimir Kozlov

By Vladimir Kozlov

The asymptotic research of boundary price difficulties in parameter-dependent domain names is a quickly constructing box of analysis within the conception of partial differential equations, with very important purposes in electrostatics, elasticity, hydrodynamics and fracture mechanics. development at the paintings of Ciarlet and Destuynder, this booklet offers a scientific assurance of those equipment in multi-structures, i.e. domain names that are depending on a small parameter e in this kind of manner that the restrict sector comprises subsets of other house dimensions. An undergraduate wisdom of partial differential equations and sensible research is thought.

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Example text

6. Zu jeder rationalen Zahl e > 0 gibt es ein natürliches m, so daß 1/m < e ausfällt. Für jedes natürliche n > m ist dann erst recht 1/n < e. 7. ,;;; 2 ebenso richtig ist wie 1 < 2 und deshalb unbedenklich hingeschrieben werden kann (sie bedeutet nur, daß I nicht größer als 2 ist, und dies trifft doch gewiß zu). Die erste Ungleichung ist lediglich "weniger scharf", sie enthält weniger Information als die zweite (sie informiert uns nicht, daß 1 f 2 ist). *8. Zeige mit Hilfe des lnduktionsprinzips, daß jede nichtleere endliche Menge reeller Zahlen ein kleinstes und ein größtes Element besitzt.

Ist b,d>O, so gdt: b<-;j'""-ad 0 und a a +c c b< d , so gilt b< b + d < d . *4. Gilt 0 ";;; a ";;; E fürjede positive Zahl E, so ist a = 0. 5. Die Menge R+ aller positiven reellen Zahlen hat die folgenden Eigenschaften: (P 1) a, b E R+ ==+ a + b ER+ und ab ER+. (P2) a'fO==+aER+ oder -aER+, aber nicht a, -aER+. (P3) O~R+. Daß x zwischen a und b liegt, impliziert also, daß x weder mit a noch mit b übereinstimmt. ll 48 I Mengen und Zahlen Nun kehre man diese Betrachtung um: Man denke sich eine (nichtleere) Teilmenge R+ von R gegeben, die den Aussagen (P 1) bis (P 3) genügt, definiere die Relation a < b als gleichbedeutend mit b - a E R+ und zeige, daß sie den Axiomen (A 6) bis (A 8) genügt (natürlich soll auch hier a > b nur eine andere Schreibweise für b < a sein; c > 0 bedeutet demnach, daß c ER+ ist).

1> Statt ~ benutzen wir auch häufig die raumsparende Schreibweise a/b. 38 I Mengen und Zahlen Die dreigliedrigen Summen a + b + c bzw. Produkte abc sind offensichtlich von der Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren unabhängig. Kann man für die Elemente einer (nichtleeren) Menge K, die nicht notwendigerweise aus Zahlen zu bestehen braucht, eine "Summe" a + b und ein "Produkt" a · b so erklären, daß die Gesetze (A 1) bis (A 5) gelten (wobei "reelle Zahl" natürlich zu ersetzen ist durch "Element von K"), so nennt manKeinen Körper.

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