Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von by Ehrhard Behrends

By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders extensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, used to be ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben und Tipps zur Lösung. Die vollständigen, ausführlichen Lösungen zu den Übungsaufgaben findet guy auf der Verlagswebsite. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
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Da das Assoziativgesetz nicht gilt, muss man in Zweifelsf¨ allen klar machen, welche der beiden M¨oglichkeiten gemeint ist. Die Sprache kann das nicht immer gut ausdr¨ ucken, manchmal ist das Gemeinte nur aus dem Zusammenhang zu erschließen. Betrachten Sie etwa die Zeitungsmeldung M¨ adchen und Jungen ” aus Elternh¨ausern mit h¨oherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“. Von den zwei sinnvollen Interpretationen, n¨amlich (M¨adchen und Jungen aus Elternh¨ ausern ” mit h¨oherer Schulbildung) werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“ und M¨adchen und (Jungen aus Elternh¨ ausern mit ” h¨oherer Schulbildung) werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“ war die zweite gemeint, wie allerdings erst aus dem nachfolgenden Text klar wurde.

Q W F W W F p F W W Wie kommt die zweite Zeile zustande? Einfach dadurch, dass eine Aussage p ⇒ q auch dann als wahr anzusehen ist, wenn p falsch und q beliebig ist. Hier haben die meisten Anf¨ anger Probleme. Vielleicht ist es deswegen hilfreich, daran zu erinnern, dass man es umgangssprachlich genauso h¨ alt: Jedesmal, wenn es regnet, brauche ich einen Schirm“ ist auch in der ” Sahara eine wahre Aussage.

Hier geht es jetzt darum, Begriffen wie gr¨ oßer“, ” links“ usw. eine mathematische Fundierung zu geben. ” Wir erinnern uns daran, dass in R naiv die Aussage x < y“ das gleiche ” bedeutet wie y − x > 0 (wof¨ ur man auch y − x ist positiv“ sagt). Wegen dieser ” Beobachtung reicht es, sich auf Eigenschaften positiver Elemente zu beschr¨ anken und von den richtigen“ Eigenschaften auszugehen. 1. (K, +, ·) sei ein K¨orper und P ⊂ K (P ist unser Kandidat f¨ ur die positiven Elemente). P heißt Positivbereich, wenn positiv Positivbereich (i) f¨ ur jedes x = 0 in K ist x ∈ P oder −x ∈ P , es gilt f¨ ur diese x aber nie gleichzeitig x ∈ P und −x ∈ P ; die 0 liegt nicht in P ; (ii) f¨ ur x, y ∈ P ist x + y ∈ P sowie x · y ∈ P .

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