Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

Inhalt
Inhalt: Vollst?ndige Induktion - Die K?rperaxiome - Anordnungsaxiome - Folgen, Grenzwerte - Das Vollst?ndigkeitsaxiom - Quadratwurzeln - Konvergenzkriterien f?r Reihen - Die Exponentialreihe - Punktmengen - Funktionen, Stetigkeit - S?tze ?ber stetige Funktionen -Logarithmus und allgemeine Potenz - Die Exponentialfunktion im Komplexen - Trigonometrische Funktionen - Differentiation - Loka le severe. Mittelwertsatz. Konvexit?t - Numerische L?sung von Gl eichungen - Das Riemannsche essential - Integration und Differenti ation - Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion - Gleichm??ig e Konvergenz von Funktionenfolgen - Taylor-Reihen - Fourier-Reihe n.

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N + k + 1) + ... = (N < IxI N+ 1 ( lxi (IXI)2 (lxi \k ) - (N + I)! 1 + N + 2 + N + 2 + ... + N + 2J + ... Für lxi S 1 + r gilt deshalb IxI N+1 ( 1) IxI N+ 1 1 1 IrN+1(x)1 S (N + I)! 1 + 2+ 4+ ... + 2k + ... d. Für die praktische Berechnung von exp(x) ist es vorteilhaft, folgendermaßen zu klammern: N L n= xn xN x N- 1 [J = N! + (N - I)! + ... ((& + 1) N ~ 1 + 1) N ~ 2 + ... )~+ 1 + 1 + rN+1, wobei IrN+11 S (N /1)! Dies ist eine bequeme Methode zur Berechnung von e. Für N = 15 ist Ir 16 1S 162!

Denn x2 n - a)2 - a = -4I ( x a = -1 ( x 1 + - 4 nXn-l 1 (Xn-l = -4 3. Es gilt Xn - 4. Mit Yn Xn+1 ~ Xn x: 1 a2 ) + 2a + - - a= X~_l _a_)2 ~ O. Xn-l für alle n ~ I, denn _ I( a)_ I Xn+ 1 - Xn -"2 Xn + Xn - 2x := 2 n- 2 n (X n - a) ~ O. gilt Y~ ~ a für alle n ~ 1. O. Forster, Analysis 1 © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983 für alle § 6 Quadratwurzeln 35 Nach 2. ist l/x~:S; I/a. Multiplikation mit a2 ergibt die Behauptung: a2< a2- a yn2 -- x~ - a - . 5. Aus 3. folgt Yn :s; Yn+l flir alle n;::: l.

14) Die Folge 8n = n, nEIN, divergiert bestimmt gegen + 00. 15) Die Folge 8n = -2n , nEIN, divergiert bestimmt gegen - 00. 16) Die Folge an = (-1) n n, nEIN, divergiert. Sie divergiert jedoch nicht bestimmt gegen + 00 oder - 00. Bemerkungen a) Wie aus der Definition unmittelbar folgt, ist eine Folge, die bestimmt nach + 00 (bzw. - 00) divergiert, nicht nach oben (bzw. nicht nach unten) beschränkt. 16) zeigt. b) + 00 und - 00 sind Symbole, deren Bedeutung durch die Definition genau festgelegt ist.

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