Algebraic Methods in the Global Theory of Complex Spaces by Constantin Banica, Octavian Stanasila

By Constantin Banica, Octavian Stanasila

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Da das Assoziativgesetz nicht gilt, muss man in Zweifelsf¨ allen klar machen, welche der beiden M¨oglichkeiten gemeint ist. Die Sprache kann das nicht immer gut ausdr¨ ucken, manchmal ist das Gemeinte nur aus dem Zusammenhang zu erschließen. Betrachten Sie etwa die Zeitungsmeldung M¨ adchen und Jungen ” aus Elternh¨ausern mit h¨oherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“. Von den zwei sinnvollen Interpretationen, n¨amlich (M¨adchen und Jungen aus Elternh¨ ausern ” mit h¨oherer Schulbildung) werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“ und M¨adchen und (Jungen aus Elternh¨ ausern mit ” h¨oherer Schulbildung) werden besonders intensiv von ihren Lehrern gef¨ordert“ war die zweite gemeint, wie allerdings erst aus dem nachfolgenden Text klar wurde.

Q W F W W F p F W W Wie kommt die zweite Zeile zustande? Einfach dadurch, dass eine Aussage p ⇒ q auch dann als wahr anzusehen ist, wenn p falsch und q beliebig ist. Hier haben die meisten Anf¨ anger Probleme. Vielleicht ist es deswegen hilfreich, daran zu erinnern, dass man es umgangssprachlich genauso h¨ alt: Jedesmal, wenn es regnet, brauche ich einen Schirm“ ist auch in der ” Sahara eine wahre Aussage.

Hier geht es jetzt darum, Begriffen wie gr¨ oßer“, ” links“ usw. eine mathematische Fundierung zu geben. ” Wir erinnern uns daran, dass in R naiv die Aussage x < y“ das gleiche ” bedeutet wie y − x > 0 (wof¨ ur man auch y − x ist positiv“ sagt). Wegen dieser ” Beobachtung reicht es, sich auf Eigenschaften positiver Elemente zu beschr¨ anken und von den richtigen“ Eigenschaften auszugehen. 1. (K, +, ·) sei ein K¨orper und P ⊂ K (P ist unser Kandidat f¨ ur die positiven Elemente). P heißt Positivbereich, wenn positiv Positivbereich (i) f¨ ur jedes x = 0 in K ist x ∈ P oder −x ∈ P , es gilt f¨ ur diese x aber nie gleichzeitig x ∈ P und −x ∈ P ; die 0 liegt nicht in P ; (ii) f¨ ur x, y ∈ P ist x + y ∈ P sowie x · y ∈ P .

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